В 16-летнем возрасте хавбек перешел в «Приштину», один из ведущих клубов страны. Через два года Гавазай пополнил состав бельгийского «Гента», где провел два сезона и вернулся на родину, подписав контракт с лидером местного чемпионата — «Скендербеу».
В составе восьмикратного чемпиона Албании Гавазай провел за два сезона 78 матчей, 12 из которых в Лиге Европы, забил 6 мячей. Полузащитник был заигран за юношескую и молодежную сборные Албании, в 2018 году трижды вызывался в главную национальную команду.
